Interpolationsverfahren

Die Interpolation ist ein Art der Approximation: die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen (durch die Pixel in den SRTM-Daten, welche eine Zahl beinhalten) exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten (Pixel mit dem Eintrag "NaN") immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden Zusatzinformationen über die Funktion f benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von f meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich häufig voraussetzen.

Lineare Interpolation

Am einfachsten und wohl auch in der Praxis am häufigsten benutzt wird die lineare Interpolation, bei der zwei gegebene Datenpunkte f0 und f1 durch eine Strecke verbunden werden. Als Faustregel merkt man sich


Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte (x0, f0) und (x1, f1).

Stückweise Interpolation

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden (d.h. sie schwingen stark zwischen den Interpolationspunkten), werden in der Praxis Polynome mit Grad > 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen grossen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Stützstellen von grosser Bedeutung.

Abb. 8 Stückweise lineare Interpolation


Höhergradige Polynome Interpolation

Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass man zu n+1 Datenpunkten genau ein Interpolationspolynom n-ten Grades finden kann. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man erhält das Interpolationspolynom z.B. mit Hilfe der Formel von Lagrange:



Abb. 9 Interpolationspolynom 7. Grades


Hermite-Interpolation

Sind zusätzlich zu den Stützstellen (fi, xi) auch noch die k-Ableitungen



zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Trigonometrische Interpolation

Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrischer Interpolation. Die Interpolationsformel



entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten ak und bk berechnen sich zu



Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen xi im Intervall [0; 2Pi] äquidistant verteilt sowie ausserhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.